Старинная задача фазаны и кролики

Старинные задачи развивают логическое мышление, вызывают большое любопытство у многих ребят. Можно сделать решение этих задач небольшой частью урока. Как это сделать описано в представленном материале. К задачам даны решения и ответы.

Просмотр содержимого документа
«Старинные задачи для учащихся 5 класса»

Старинные задачи для учащихся 5 класса

Задачи из раздела «тексты старинных задач» интересны учащимся, как среднего возраста, так и старшего. Когда же решать старинные и занимательные задачи, развивающие логическое мышление, вызывающие большое любопытство у многих ребят? А что если сделать решение этих задач небольшой частью урока? Так «родилась» идея «Задача дня». Для неё отводится крайняя правая часть доски, на которой пишется задача «сегодняшнего дня». Ребята могут решать её, а могут и не решать. Просто те, кому она интересна, могут решить её дома или на перемене. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача). Обычно решать её выходят 2-3 человека и предлагают иногда несколько способов решения одной и той же задачи – «бенефис одной задачи». Не беда, что кто-то не решил задачу, ведь он пытался это сделать, на уроке он увидит правильное решение.

Задачи на составление уравнения

1. «Кому пасти овец?» (задача из старинной русской рукописи XVII века).

У пятерых крестьян — Ивана, Петра, Якова, Михея и Гаврилы — было 10 овец. Не могли они найти пастуха и решили пасти по очереди: по столько дней, сколько овец».

Известно, что у Ивана овец было вдвое меньше, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана, Михей имеет овец вдвое больше, чем Яков, а Гавриил — вчетверо меньше, чем Петр. Смекника-ка, по скольку дней следует пасти овец каждому?

2. Старинная задача.

Летела стая гусей, а навстречу ей – один гусь. Говорит гусь: «Здравствуйте, 100 гусей!» А вожак стаи в ответ: «Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да ещё полстолька, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100». Сколько в стае гусей?

3. Старинная русская задача.

Вопросил некто некого учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать тебе сына в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придёт учеников столько же, сколько имею, и полстолька, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько было у учителя учеников?

4. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Задумайте какое-нибудь число, умножьте его на 2, прибавьте к произведению 30, полученное число разделите на 2, от результата отнимите задуманное число, и тогда в ответе получится 15. Объясните, почему при любом заданном числе ответ всегда равен 15?

5. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

6. Древнекитайская задача.

Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы: их оказалось 15, затем он сосчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

7. Из учебника Эйлера «Основания алгебры» (1707-1773гг.)

Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. Старший сын получил на 200 крон больше среднего, а средний – на 100 крон больше младшего. Сколько получил каждый из сыновей?

Задачи, решаемые с конца

8. «Мальчики и яблоки» (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого).

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

9. Старая легенда гласит, что чешская королева Либуша обещала выйти замуж за того из трех добивавшихся её руки рыцарей, кто первый решит задачу: «Сколько слив помещается в корзине, из которой половину всего содержимого и одну сливу она отдаст первому, половину оставшегося и еще одну сливу – второму и, наконец, третьему – половину оставшихся и еще три сливы, после чего корзина опустела?»

10. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского(1811 г.).

Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и ещё пол-апельсина, второму покупателю – половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина; таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый из покупателей?

11. Из старинных рукописей.

В трёх кучках лежит 24 камешка. Если из первой кучки переложить во вторую столько, сколько находится во второй, а затем из второй в третью столько, сколько находится в третьей, наконец, из третьей в первую столько, сколько в первой осталось, то во всех кучках будет поровну. Сколько камешков в каждой кучке?

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

Пусть х овец – у Якова, 2х овец – у Ивана, 4х овец – у Петра, 2х овец – у Михея, х овец – у Гаврилы.

х + 2х + 4х + 2х + х = 10

Ответ: Якову – 1 день, Ивану – 2 дня, Петру – 4 дня, Михею – 2 дня, Гавриле – 1 день.

Пусть было х гусей.

х + х + 0,5х + 0,25х + 1 = 100

3. Ответ: 36 учеников.

Пусть х — задуманное число.

2 + 30) : 2 – х = х + 15 – х = 15

Пусть х коп. – пробка, тогда (х + 10) коп. – бутылка.

Ответ: пробка – 1 копейка, бутылка – 11 копеек.

Пусть х – кроликов, тогда (15 – х) – фазанов.

Ответ: 6 кроликов, 9 фазанов.

7. Пусть х крон получил младший сын, тогда (х + 100) – средний, (х + 100) + +200 = (х + 300) крон – старший.

х + (х +100) + (х + 300) = 1600

Ответ: 400, 500, 700 крон.

Представим в виде таблицы и начнем ее заполнение с последней строки, зная, что у каждого мальчика оказывается по 8 яблок.

13 7 4

Ответ: 13, 7, 4 яблока.

((3 2 + 1) ) (слив).

Всего было (((((0,5 2 +0,5) апельсина. Первый взял 63 : 2 + 0,5 = 32 апельсина, второй: 31 : 2 + 0,5 = 16, третий: 15 : 2 + 0,5 = 8, четвертый: 7 : 2 + 0,5 = 4, пятый: 3 : 2 + 0,5 = 2, шестой: 1

Разделы: Математика

Данный урок проводится в ходе изучения темы: “Решение задач с помощью уравнений” (третий урок по теме) в курсе изучения алгебры по учебнику Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина и др. “Алгебра 7” М: Просвещение 2007год.

К моменту проведения урока учащиеся уже хорошо знакомы с задачей про фазанов и кроликов из темы “Разные арифметические задачи”, которая изучалась в курсе “Математика 5” по учебнику Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина и др.(там она была решена арифметическим способом), также в курсе изучения алгебры они уже научились решать уравнения и составлять уравнения по условию задач и на последних двух уроках уже решали задачи с помощью уравнений. На этом уроке учащиеся будут решать задачу про фазанов и кроликов с помощью уравнений, беря за x различные величины, а в конце урока учитель покажет им, как можно решить такую задачу с помощью системы уравнений в качестве пропедевтики темы: “Решение задач с помощью систем уравнений”, которая будет изучаться в конце 7класса.

Цели урока: На примере одной задачи рассмотреть 6 различных способов её решения: арифметический, четыре – с помощью уравнения (беря за x различные величины) и с помощью системы уравнений. Отработать навыки решения задач с помощью уравнений.

1. Организационный момент.

Учитель:

Сегодня на уроке мы вновь встретимся с Вами с хорошо известной Вам задачей про фазанов и кроликов (задача выводится на доску “В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов”), но если раньше мы ее решали арифметическим способом, то сегодня будем ее решать с помощью уравнений и даже системы уравнений.

Давайте начнем с того, что вспомним, как ее можно решить арифметически.

2. Арифметический способ решения задачи.

(Учитель вместе с классом разбирает арифметический способ решения задачи, после чего решение еще раз выводится на доску)

1) Представим, что на верх клетки. В которых сидят фазаны и кролики, положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

2)Но в условии даны 94ноги. Где же остальные? Остальные не посчитаны – это передние лапки кроликов. Сколько их?

3)Сколько же кроликов?

4) А сколько фазанов?

Ответ: 23фазана и 12 кроликов в клетке.

– Так мы решали задачу в пятом классе, но теперь мы уже научились решать задачи с помощью уравнений. Так давайте попробуем применить этот способ решения к нашей задаче.

3. Решение задачи с помощью уравнений.

– Во-первых, давайте определимся, что мы можем взять за x в этой задаче.

– Число фазанов или число кроликов.

-Давайте возьмем за x сначала число фазанов, и решим задачу с помощью уравнения.

(Один из желающих выходит к доске и решает задачу. После того, как задача будет решена и разобрана, она еще раз выводится на доску, а сама доска освобождается для следующего решения.)

1)Пусть x фазанов в клетке. Тогда кроликов в клетке 35- x . Всего у фазанов 2 x ног, а у кроликов 4·(35- x ) ног. Зная, что всего у них 94 ноги составим уравнение:

23фазана в клетке

2) 35-23=12(кроликов) в клетке.

Ответ:23фазана и 12 кроликов в клетке.

– Решая эту задачу мы брали за x число фазанов, но вы предлагали взять за x и число кроликов. Решите, пожалуйста, эту задачу, взяв за x число кроликов. Решение будет аналогично тому, что только что было приведено в тетрадях и на доске. ( Учащиеся работают самостоятельно, по окончании работы, учитель выводит на доску решение и идет проверка решения и оформления задачи)

1) Пусть x кроликов в клетке. Тогда фазанов в клетке 35- x . Всего у фазанов 2(35- x ) ног, а у кроликов 4 x ног. Зная, что всего у них 94 ноги составим уравнение:

12 кроликов в клетке

2) 35-12=23(фазана) в клетке.

Ответ: 23фазана и 12 кроликов в клетке.

– Ребята, а скажите, пожалуйста, что еще можно взять за x в этой задаче?

– Количество ног или у фазанов, или у кроликов.

– Давайте возьмем за x количество ног у всех фазанов и попробуем решить эту задачу.

(Один из желающих выходит к доске и решает задачу. После того, как задача будет решена и разобрана, она еще раз выводится на доску, а сама доска освобождается для следующего решения.)

1)Пусть у фазанов x ног, тогда у кроликов 94- x ног. Т.к. у каждого фазана по 2 ноги, то у x фазанов x :2 ног, а кроликов по 4 ноги, значит их (94- x ):4. Зная, что в клетке всего 35 фазанов и кроликов составим уравнение:

46 ног у фазанов.

2) 46:2=23(фазана) в клетке.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов в клетке.

– Ну, а теперь возьмите за x число ног у кроликов и решите эту задачу самостоятельно. ( Учащиеся работают самостоятельно, по окончании работы, учитель выводит на доску решение и идет проверка решения и оформления задачи).

1)Пусть у кроликов x ног, тогда у фазанов 94- x ног. Т.к. у каждого фазана по 2 ноги, то у (94- x ) фазанов (94- x ):2 ног, а кроликов по 4 ноги, значит их x :4. Зная, что в клетке всего 35 фазанов и кроликов составим уравнение:

48 ног у кроликов.

2) 48:4=12(кроликов) в клетке.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов в клетке.

– Мы разобрали с Вами 4 способа решения задачи про фазанов и кроликов с помощью уравнений, вспомнили арифметический способ, но есть и еще способ, который вы сможете применять уже в конце 7 класса. Давайте рассмотрим этот способ в ознакомительном плане.

4. Решение задачи с помощью системы уравнений.

(Рассматривается способ решения задачи с помощью системы уравнений, решение рассматривается очень подробно, так как учащиеся с системой сталкиваются впервые)

Пусть x кроликов и y фазанов было в клетке. Зная, что их всего 35, составим первое уравнение системы:

Зная, что у каждого кролика 4 ноги, а у каждого фазана 2ноги, а всего их 94, составим второе уравнение системы: 4 x +2 y =94

Объединим уравнения в систему и решим её:

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов в клетке.

5. Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы работали с Вами над решением старинной задачи “ про фазанов и кроликов”: рассмотрели 6 различных способов ее решений 4 из которых с помощью уравнений, еще раз отработали навыки составления уравнений по условию задач и решению этих уравнений.